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1+1=2:我们为什么信赖算术?

[   达纳·麦肯齐   ] 作者:
2018-02-26 17:44:11 |
  1加1等于2,这或许是所有公式中最基本的一个。简单明了、亘古不变、毋庸置疑……但究竟是谁第一个写下了这一公式?它与其他的算术公式来自何方?我们如何知道它们是正确的?这些问题的答案远非一目了然。
  
  令人惊讶的一点是,古代数学中有关加法讨论的证据不多。人们发现的巴比伦陶土书板和埃及纸莎草文献中充斥着乘法与除法表,但却没有加法表,也没有“1+1=2”。看上去,加法是太明显的事实,用不着什么解释,而乘法和除法的情况则不同。原因之一或许是在许多文化中使用较为简单的计数系统。例如,在埃及,人们把一个像324这样的数字写成三个“一百”的符号、两个“十”的符号和四个“一”的符号。要把两个数字相加,人们就把它们所有的符号放置在一起,必要时把十个“一”换成一个“十”,以此类推。这跟我们现在不时地把零钱放到一起,然后用较大面额的纸币置换较小面额的钱币非常相似。谁也不需要记住1+1=2,因为 | 和 | 的和显然就是 || 。

  
  对此的一个简单的解释是:在数轴上,2是1右面的下一个数字。然而,自20世纪早期以降,逻辑学家们更愿意通过集合论定义自然数。于是这一公式的大体意思就是:任何两个不相交的只有一个元素的集合的并集是一个有两个元素的集合。
  
  在古代中国,算术计算是在算盘的某种前身——“计算板”上进行的,其中用小棒为个、十、百等数位计数。同样,加法就是直接把恰当数目的小棒合并到一起,必要时进位到下一栏。没什么需要记忆的。然而乘法表(九九表)就是另一码事了。这是一个重要的工具,因为乘法8×9=72 要比把9个8加起来快。
  
  另外一个观念上极其重要的差别是,没有任何一种古代文化,无论是巴比伦文化、埃及文化、中国文化或者任何其他文化有着与我们今天的现代概念完全一样的“等式”概念。人们用一般的词语写成的完整句子或者一些步骤来表达数学上的想法。因此,认为某种文化“了解”某个等式或者另一种文化不了解这一等式,这种说法不大靠得住。现代形式的等式是在一段一千多年的时期中逐步产生的。在公元250年前后,亚历山大港的丢番图开始使用一个字母的缩写(或以数学历史学家的语言说,即“缩略”标记法),来代替经常使用的词如“和”“积”等等。用x与y这样的字母来代表未知数量的想法很久以后才出现在欧洲,大约时间为16世纪后期。而等号这个今天实际上每个等式中都有的成分则直到1557年才第一次出场亮相。在罗伯特·雷科德所著《砺智石》一书中,作者雄辩地解释道:“而且,为了避免对‘等于’这个词的乏味重复,我建议,可以像我在工作中经常做的那样,用两条等长的平行孪生短线代替之,其形如====;因为这是比任何其他事物都更相等的东西。”(雷科德的原文用古体英语,其中“Gemowe”的意思是“孪生”。注意,雷科德的等号比我们今天用的长得多。)
  
  所以,尽管数学家几千年来都心照不宣地知道1+1=2,但直到16世纪的某一天为止,这一等式或许并没有写成我们今天的形式。而且直到19世纪之前,数学家们都一直没有探究过我们相信这一等式的原因。
  
  在整个19世纪中,数学家开始认识到,他们的前辈过分经常地依赖于一些隐藏的假定,而这些假定并不总是可以很容易地证明为真的(而且有时候是错误的)。打破古代数学坚冰的第一道裂缝出现于19世纪初叶,即非欧几何的发现。如果连伟大的欧几里得做出的假定都并非无懈可击,那么数学中还有哪些部分能够令人安之若素呢?
  
  19世纪晚期,更具哲学倾向的数学家如利奥波德·克罗内克、朱塞佩·皮亚诺、大卫·希尔伯特和伯特兰·罗素等,开始非常认真仔细地检查数学的基础。他们在考虑:哪些东西是我们真正能够确信无疑地知道的。我们是否能够为数学找到一套基本假定,并可以证明它们是自洽的呢?
  

上图为打开算术之门的钥匙:杰姆什德·阿尔卡什(1390—1450)的一份阿拉伯文手稿。
  
  德国数学家克罗内克认为,自然数1,2,3,……是上帝的恩赐。因此不言自明,像等式1+1=2这类算术定律是可靠的。但大部分逻辑学家反对他的观点,他们认为集合这一概念比整数更为基本。“1+1=2”这一陈述到底意味着什么?从根本上说,这意味着,当含有一个元素的集合与同样含有一个元素的集合合并时,所得到的并集总是含有两个元素。但要让这种说法说得通,我们就需要回答一连串新问题,例如集合的意义是什么、有关集合我们知道些什么、为什么我们会知道这些,等等。
  
  1910年,数学家阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德与哲学家伯特兰·罗素共同发表了一部题为《数学原理》的三卷本巨著。该书篇幅浩大、立论深奥,很可能是试图重铸算术,将之归为集合理论的一个分支。人们自然不会把这部书拿给一个八岁大的孩子看,以此向他解释1+1=2的缘由。在第一卷洋洋362页之后,怀特海德和罗素终于得到了一个命题,他们说:“当算术加法得到了定义,随之便可以得出1+1=2的结论。”注意,他们其实还没有解释什么是加法。直到第二卷,他们才有空考虑这一问题。定理“1+1=2”真正出现在第二卷的86页。他们以幽默的笔触在那里轻描淡写地写道:“上述命题偶尔会有用处。”
  

上图为约前2000年—前1600年的一块写有楔形文字手稿的陶土书板叙述了一个代数—几何问题。
  
  本书不拟在此嘲笑怀特海德和罗素,因为在与集合论中出人意料的困难做斗争的人们中,他们属于两位先驱者。例如,罗素发现,对集合的某些操作是不允许的,其中包括不可能定义一个“所有集合的集合”,因为这一概念会导致自相矛盾。这是在数学中从来都不允许的事情:某一陈述永远不会同时正确又同时错误。
  
  但这却导致了另外一个问题。罗素和怀特海德小心地避免了“所有集合的集合”可以导致的自相矛盾,但我们能不能完全肯定,他们的公理就不会把我们引向其他尚未发现的自相矛盾呢?1931年,这一问题的答案以令人惊讶的方式出现。当时奥地利逻辑学家库尔特?哥德尔发表了一篇题为《试论〈数学原理〉中的形式上不可判定的陈述及相关系统》的论文,直指怀特海德和罗素著作之非。哥德尔证明,永远无法证明任何足以推导算术规则的集合论规则是自洽的。换言之,总有可能在某一天,某人将就 1+1=3提出一项完全有理有据的证明。不仅如此,这项可能性永远都会存在;只要我们把我们的算术建立在集合论的基础上,就永远无法绝对保证我们使用的算术是自洽的。
  
  其实,数学家们并没有因为算术有自相矛盾的可能性而寝食难安。一个可能的原因是,大部分数学家强烈地感觉到,数字,以及我们研究的大量其他数学创造物,都代表了超越了人类思维的客观现实。如果是这样,出现能够证明1+1既等于2又等于3这类矛盾陈述的可能性就微乎其微。逻辑学家们将之称为“柏拉图主义者”的观点。
  
  “典型的数学家在工作日里是柏拉图主义者,而在星期天是形式主义者。”菲利普·戴维斯和鲁本·赫斯在他们1981年出版的《数学经验》一书中这样写道。换言之,当我们必须做出正式陈述时,我们将不得不承认,我们无法断言数学中不存在矛盾;但我们不会因此而中断我们的数学工作。
  
  应该补充的一点可能是,那些不是数学家的科学家在一周的每一天中都是柏拉图主义者。他们从来没有一刻怀疑过1+1会不等于2。而且他们这样做或许自有道理。对算术自洽性的最佳辩护是:人类使用算术凡5000年,但我们还从来没有发现过任何矛盾之处。对算术的客观性与普适性的最佳辩护是这一事实:与任何其他语言、宗教或信仰系统相比,在穿越文化与时间界限方面算术最为成功。的确,搜寻地外生命的科学家经常假定,我们能够解码的第一份来自地外世界的信息将以数学形式发送,因为数学是最为广泛接受的宇宙通用语言。
  
  我们知道1+1=2,这是因为我们可以通过普遍接受的集合论原理证明这一点,或者因为我们是柏拉图主义者。但我们不知道我们知道这一点,因为我们无法证明集合论是自洽的。这或许就是当那个八岁孩子问我们“为什么”的时候我们所能给出的最好答案。
  
 

《无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》,[美]达纳·麦肯齐著,李永学译,北京联合出版公司2018年1月。

责任编辑:王艺锜

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